解答题(共6小题)
1.(2014秋•黄浦区期末)如图,已知ON是∠AOB的平分线,OM、OC是∠AOB外的射线.
(1)如果∠AOC=α,∠BOC=β,请用含有α,β的式子表示∠NOC.
(2)如果∠BOC=90°,OM平分∠AOC,那么∠MON的度数是多少?
考点: |
角平分线的定义.菁优网版权所有 |
分析: |
(1)先求出∠AOB=α﹣β,再利用角平分线求出∠AON,即可得出∠NOC; (2)先利用角平分线求出∠AOM=∠AOC,∠AON=∠AOB,即可得出∠MON=∠BOC. |
解答: |
解:(1)∵∠AOC=α,∠BOC=β, ∴∠AOB=α﹣β, ∵ON是∠AOB的平分线, ∴∠AON=(α﹣β), ∠NOC=α﹣(α﹣β)=(α+β); (2)∵OM平分∠AOC,ON平分∠AOB, ∴∠AOM=∠AOC,∠AON=∠AOB, ∴∠MON=∠AOM﹣∠AON=(∠AOC﹣∠AOB)=∠BOC=×90°=45°. |
点评: |
本题考查了角平分线的定义和角的计算;弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键. |
2.(2014秋•阿坝州期末)如图,已知:E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,C、D是垂足,连接CD,且交OE于点F.
(1)求证:OE是CD的垂直平分线.
(2)若∠AOB=60°,请你探究OE,EF之间有什么数量关系?并证明你的结论.
考点: |
线段垂直平分线的性质.菁优网版权所有 |
专题: |
探究型. |
分析: |
(1)先根据E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA得出△ODE≌△OCE,可得出OD=OC,DE=CE,OE=OE,可得出△DOC是等腰三角形,由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线; (2)先根据E是∠AOB的平分线,∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°,由直角三角形的性质可得出OE=2DE,同理可得出DE=2EF即可得出结论. |
解答: |
解:(1)∵E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA, ∴DE=CE,OE=OE, ∴Rt△ODE≌Rt△OCE, ∴OD=OC, ∴△DOC是等腰三角形, ∵OE是∠AOB的平分线, ∴OE是CD的垂直平分线;
(2)∵OE是∠AOB的平分线,∠AOB=60°, ∴∠AOE=∠BOE=30°, ∵EC⊥OB,ED⊥OA, ∴OE=2DE,∠ODF=∠OED=60°, ∴∠EDF=30°, ∴DE=2EF, ∴OE=4EF. |
点评: |
本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质,熟知以上知识是解答此题的关键. |
3.(2014秋•花垣县期末)如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,DE⊥AB(E在AB之间),DF⊥BC,已知BD=5,DE=3,CF=4,试求△DFC的周长.
考点: |
角平分线的性质.菁优网版权所有 |
分析: |
根据角平分线的性质可证∠ABD=∠CBD,即可求得∠CBD=∠C,即BD=CD,再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF,即可解题. |
解答: |
解:∵∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC, ∴∠CBD=∠C, ∴BD=CD, ∵BD平分∠ABC, ∴DE=DF, ∴△DFC的周长=DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=12. |
点评: |
本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质,考查了角平分线平分角的性质,考查了三角形周长的计算,本题中求证DE=DF是解题的关键. |
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