考点：

角平分线的定义．菁优网版权所有

分析：

（1）先求出∠AOB=α﹣β，再利用角平分线求出∠AON，即可得出∠NOC；

（2）先利用角平分线求出∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB，即可得出∠MON=∠BOC．

解答：

解：（1）∵∠AOC=α，∠BOC=β，

∴∠AOB=α﹣β，

∵ON是∠AOB的平分线，

∴∠AON=（α﹣β），

∠NOC=α﹣（α﹣β）=（α+β）；

（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，

∴∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB，

∴∠MON=∠AOM﹣∠AON=（∠AOC﹣∠AOB）=∠BOC=×90°=45°．

点评：

本题考查了角平分线的定义和角的计算；弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．

考点：

线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有

专题：

探究型．

分析：

（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；

（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE，同理可得出DE=2EF即可得出结论．

解答：

解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，

∴DE=CE，OE=OE，

∴Rt△ODE≌Rt△OCE，

∴OD=OC，

∴△DOC是等腰三角形，

∵OE是∠AOB的平分线，

∴OE是CD的垂直平分线；

（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，

∴∠AOE=∠BOE=30°，

∵EC⊥OB，ED⊥OA，

∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，

∴∠EDF=30°，

∴DE=2EF，

∴OE=4EF．

点评：

本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．

考点：

角平分线的性质．菁优网版权所有

分析：

根据角平分线的性质可证∠ABD=∠CBD，即可求得∠CBD=∠C，即BD=CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF，即可解题．

解答：

解：∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，

∴∠CBD=∠C，

∴BD=CD，

∵BD平分∠ABC，

∴DE=DF，

∴△DFC的周长=DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=12．

点评：

本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE=DF是解题的关键．